数学魔术《数字根九》的奥秘

介绍数字根9的数学魔术及其原理

数学魔术《数字根九》的奥秘
Photo by Crissy Jarvis / Unsplash

《数字根九》这个数学魔术是我在初中时买的一本书上学到的。这本书收藏了许多奇妙有趣的小游戏和故事,但遗憾的是,几年前弄丢了。学会数字根九后,我向初中的同学表演了几次,收获了不少称赞。大学乃至工作后,每当需要我上台表演节目时,我都会选择表演这个小游戏—唱歌跳舞对我而言实在是太难。

魔术的内容

这个魔术表演起来很简单,仅需要一位参与者。

首先表演者要求参与者随机想一串比较长的数字,例如 2024835016。然后再让参与者将这串数字打乱重新排列,假设重新排列为 8251603402—即使将 0 排在最前面也没问题。然后使用两数中较大的一个减去较小的一个,得到差值 6226768386。前面说到的这些数字,表演者是不需要知道的(保持魔术的神秘感)。

最后让参与者删掉差值里面一个非零数字(假设为 2),把剩下的数字(626768386)逐个报给表演者(可不按顺序)。表演者可根据这些剩下的数字猜出参与者删掉的是数字是几。

魔术的原理

这个数学魔术本质上是一个数字根问题。数字根又叫数根,是正整数的一个性质。计算方法是将正整数的各个位上的位数相加,如果相加得到的数字大于等于 10,则继续将结果的各位数相加,直到得到一个小于 10 的数字,即为原正整数的数字根。

在上面提到的魔术里,参与者将剩下的数字 626768386 报给表演者后。表演者计算这个数字的数字根为 7。然后用 9 减去 7 得到 2,就是参与者删掉的数字。如果 9 减去数字根得到的数字为 0,则参与者删掉的数字是 9。一个数字加上 9 后,它的数字根是不变的。

数字 x 的数字根 y 的计算公式为:

$$ y = mod(a-1, 9) + 1 $$

假设我们有一串数字 a,以及将 a 的各位数字打乱顺序后得到的数字 b。根据数字根的加和计算方法,a 和 b 的数字根是相同的,且 a - b 的数字根为 9,这就是魔术的数学原理。下面我们证明该原理的真实性。

要证明 a - b 的数字根为 9,我们需要证明:

$$ ((a - b) - 1) mod 9 + 1 = 9 $$

证明过程如下:

$$ ((a-b)-1)mod9+1 = ((a-b)mod9 - 1mod9)mod9 + 1 $$

$$ (a-b)mod9 = (amod9 -bmod9)mod9 = 0 $$

所以

$$ ((a-b)-1)mod9+1 = (0 - 1mod9)mod9 + 1 = (-1)mod9 + 1 = 9 $$

即需要证明的等式成立,魔术原理得证。

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